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限界ときたら微分する [学問]

今日は、今年の国2のミクロ経済学で出題された問題を解いてみよう。
消費者理論の効用最大化時の財の消費量を求めようという問題かと思ってたら、求めるのは消費量じゃないという感じの問題だ。

【問題】
所得のすべてをX財とY財に支出する、ある消費者の効用関数が次のように与えられている。
 u(x,y)=x(2+y)
ここでxはX財の消費量、yはY財の消費量を表す。X財の価格が8、Y財の価格が4、貨幣所得が120であるとき、この消費者の貨幣1単位あたりの限界効用はいくらか。

1. 2
2. 4
3. 6
4. 8
5. 10

【解法】
求めるものは、消費量ではなく貨幣1単位あたりの限界効用となっている。
「限界」ときたら、微分なのだが、残念ながら効用関数の式の中には、貨幣を表すものがない。
ということで、ないなら作ってしまえ。
X財の価格が8、Y財の価格が4だから、貨幣所得をMとおくと

 8x+4y=M
 ⇔y=M/4+2x

これを効用関数の式に代入しよう。

 u=2x+xy
  =2x+x(M/4+2x)
  =2x+xM/4+2x^2

これで、効用関数の式の中に、貨幣をつれてくることができた。
それでは、効用関数を貨幣所得Mで微分してみよう。

 du/dM=x/4 …①

後は、xの値を求めればよい。
加重限界効用均等の法則を使って解けばよいから、効用関数をx、yでそれぞれ偏微分する。

 ∂u/∂x=2+y
 ∂u/∂y=x

課長限界効用均等の方式より

 (2+y)/8=x/4
 ⇔2x-y=2 …②

予算制約線を表す式が

 8x+4y=120 …③

②、③から x=8

これを①に代入すると du/dM=2

よって、正答は肢1だ。

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コメント 3

KeM

ありがとうございます~(^^

なるほど。Mがないなら作ってしまえば良かったのか。。。

しかし、『加重限界効用均等の法則』を知らなかったので、解けてもここまでだったかな(TT

この知識を活かして、地上で一点でも多くとってみせます!(^^b
by KeM (2008-06-25 00:47) 

うぐひす

地上がんばってください。
by うぐひす (2008-06-26 00:06) 

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どの道Mで微分したときに消えてしまうので大勢には影響
しませんが、予算線の2xは移行してマイナスになるのでは
ないでしょうか?
by お名前(必須) (2017-03-28 12:16) 

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